Tokyo/Formulation/1.toggle model

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< Tokyo/Formulation
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<中身> (相平面解析) パラメータによって相平面が変わり,平衡点が1つのときと3つのときがある. 平衡点が3つのときbistableになり,A状態,B状態ができる. (シミュレーション) 初期値を安定点付近から始めるとちゃんとそのまま安定してるよ



式-1.JPG


定常状態では時間変化が0.つまり,右辺=0を解けばよい.すると,


Siki2.jpg


となり,グラフにすると下のようになる.この線のことを一般的にnullclineと言い,nullclineの交点が 平衡点となる.


Toggle1.jpg Toggle2.jpg


平衡点には安定な平衡点と不安定な平衡点があり,今回は黒丸が安定な平衡点で白丸が不安定な平衡点である.
実際にシミュレーションした結果と比較すると明らかである.
左端のグラフが左上の安定点(B状態)付近を初期値として計算した結果.真ん中のグラフが中心の不安定点付近を初期値として計算した結果.右端のグラフが,右下の安定点(A状態)付近を初期値として計算した結果.


Toggle3.jpg Toggle4.JPG Toggle5.JPG


安定点B付近から始めるとB状態で安定し,安定点A付近から始めるとA状態で安定しているのが分かる. 不安定点付近から始めるとどちらかで安定化する.


次に,安定点が一つしかない場合のシミュレーション結果は下のようになる.


Toggle6.JPG Toggle7.JPG Toggle8.JPG


安定点が一つしかない場合は,安定点B付近から始めてもA状態で安定化してしまうのが分かる.
よって,安定な2状態をとるには平衡点が3つある最初の相平面になる必要がある.